python 解决微分方程的操作(数值解法)

对于一些微分方程来说，数值解法对于求解具有很好的帮助，因为难以求得其原方程。

比如方程：

但是我们知道了它的初始条件，这对于我们叠代求解很有帮助，也是必须的。

那么现在我们也用Python去解决这一些问题，一般的数值解法有欧拉法、隐式梯形法等，我们也来看看这些算法对叠代的精度有什么区别？

```python```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import odeintfrom matplotlib import pyplot as pltimport os#先从odeint函数直接求解微分方程#创建欧拉法的类class Euler: #构造方法，当创建对象的时候，自动执行的函数 def __init__(self,h,y0):#将对象与对象的属性绑在一起self.h = hself.y0 = y0self.y = y0self.n = 1/self.hself.x = 0self.list = [1]#欧拉法用list列表,其x用y叠加储存self.list2 = [1]self.y1 = y0#改进欧拉法用list2列表，其x用y1叠加储存self.list3 = [1]self.y2 = y0#隐式梯形法用list3列表，其x用y2叠加储存 #欧拉法的算法，算法返回t,x def countall(self):for i in range(int(self.n)): y_dere = -20*self.list[i] #欧拉法叠加量y_dere = -20 * x y_dere2 = -20*self.list2[i] + 0.5*400*self.h*self.list2[i] #改进欧拉法叠加量 y_dere2 = -20*x(k) + 0.5*400*delta_t*x(k) y_dere3 = (1-10*self.h)*self.list3[i]/(1+10*self.h) #隐式梯形法计算 y_dere3 = (1-10*delta_t)*x(k)/(1+10*delta_t) self.y += self.h*y_dere self.y1 += self.h*y_dere2 self.y2 =y_dere3 self.list.append(float('%.10f' %self.y)) self.list2.append(float('%.10f'%self.y1)) self.list3.append(float('%.10f'%self.y2))return np.linspace(0,1,int(self.n+1)), self.list,self.list2,self.list3step = input('请输入你需要求解的步长:')step = float(step)work1 = Euler(step,1)ax1,ay1,ay2,ay3 = work1.countall()#画图工具pltplt.figure(1)plt.subplot(1,3,1)plt.plot(ax1,ay1,’s-.’,MarkerFaceColor = ’g’)plt.xlabel(’横坐标t’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.ylabel(’纵坐标x’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.title(’欧拉法求解微分线性方程步长为’+str(step),fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.subplot(1,3,2)plt.plot(ax1,ay2,’s-.’,MarkerFaceColor = ’r’)plt.xlabel(’横坐标t’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.ylabel(’纵坐标x’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.title(’改进欧拉法求解微分线性方程步长为’+str(step),fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.subplot(1,3,3)plt.plot(ax1,ay3,’s-.’,MarkerFaceColor = ’b’)plt.xlabel(’横坐标t’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.ylabel(’纵坐标x’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.title(’隐式梯形法求解微分线性方程步长为’+str(step),fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.figure(2)plt.plot(ax1,ay1,ax1,ay2,ax1,ay3,’s-.’,MarkerSize = 3)plt.xlabel(’横坐标t’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.ylabel(’纵坐标x’,fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)plt.title(’三合一图像步长为’+str(step),fontproperties = ’simHei’,fontsize =20)ax = plt.gca()ax.legend((’$Eular$’,’$fixed Eular$’,’$trapezoid$’),loc = ’lower right’,title = ’legend’)plt.show()os.system('pause')

对于欧拉法，它的叠代方法是：

改进欧拉法的叠代方法：

隐式梯形法：

对于不同的步长，其求解的精度也会有很大的不同，我先放一几张结果图：

补充：基于python的微分方程数值解法求解电路模型

安装numpy（用于调节range） 和 matplotlib（用于绘图）

在命令行输入

pip install numpy pip install matplotlib电路模型和微分方程模型1

无损害，电容电压为5V，电容为0.01F，电感为0.01H的并联谐振电路

电路模型1

微分方程1

微分方程2