Java数据结构与算法解析——伸展树

伸展树简介

伸展树(Splay Tree)是特殊的二叉查找树。

它的特殊是指，它除了本身是棵二叉查找树之外，它还具备一个特点: 当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。

特性

1.和普通的二叉查找树相比，具有任何情况下、任何操作的平摊O(log2n)的复杂度，时间性能上更好

2.和一般的平衡二叉树比如 红黑树、AVL树相比，维护更少的节点额外信息，空间性能更优，同时编程复杂度更低

3.在很多情况下，对于查找操作，后面的查询和之前的查询有很大的相关性。这样每次查询操作将被查到的节点旋转到树的根节点位置，这样下次查询操作可以很快的完成

4.可以完成对区间的查询、修改、删除等操作，可以实现线段树和树状数组的所有功能

旋转

伸展树实现O(log2n)量级的平摊复杂度依靠每次对伸展树进行查询、修改、删除操作之后，都进行旋转操作 Splay(x, root)，该操作将节点x旋转到树的根部。

伸展树的旋转有六种类型，如果去掉镜像的重复，则为三种：zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。

1 自底向上的方式进行旋转

1.1 zig旋转

如图所示，x节点的父节点为y，x为y的左子节点，且y节点为根。则只需要对x节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为y的父节点，就可以使x成为伸展树的根节点。

1.2 zig-zig旋转

如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在一字型链上。此时，先对y节点和z节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zig旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。

1.3 zig-zag旋转

如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在之字型链上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zag旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。

2 自顶向下的方式进行旋转这种方式不需要节点存储其父节点的引用。当我们沿着树向下搜索某个节点x时，将搜索路径上的节点及其子树移走。构建两棵临时的树——左树和右树。没有被移走的节点构成的树称为中树。

(1) 当前节点x是中树的根

(2) 左树L保存小于x的节点

(3) 右树R保存大于x的节点

开始时候，x是树T的根，左树L和右树R都为空。三种旋转操作：

2.1 zig旋转

如图所示，x节点的子节点y就是我们要找的节点，则只需要对y节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为x的父节点，就可以使y成为伸展树的根节点。将y作为中树的根，同时，x节点移动到右树R中，显然右树上的节点都大于所要查找的节点。

2.2 zig-zig旋转 如上图所示，x节点的左子节点y，y的左子节点z，三者在一字型链上，且要查找的节点位于z节点为根的子树中。此时，对x节点和y节点进行zig，然后对z和y进行zig，使z成为中树的根，同时将y及其子树挂载到右树R上。

2.3 zig-zag旋转

如上图所示，x节点的左子节点y，y的右子节点z，三者在之字型链上，且需要查找的元素位于以z为根的子树上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，将x及其右子树挂载到右树R上，此时y成为中树的根节点；然后再对z节点和y节点进行zag旋转，使得z成为中树的根节点。

2.4 合并

最后，找到节点或者遇到空节点之后，需要对左、中、右树进行合并。如图所示，将左树挂载到中树的最左下方（满足遍历顺序要求），将右树挂载到中树的最右下方（满足遍历顺序要求）。

伸展树的实现 1.节点

public class SplayTree<T extends Comparable<T>> { private SplayTreeNode<T> mRoot; // 根结点 public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> {T key;// 关键字(键值)SplayTreeNode<T> left; // 左孩子SplayTreeNode<T> right; // 右孩子public SplayTreeNode() { this.left = null; this.right = null;}public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) { this.key = key; this.left = left; this.right = right;} }}

SplayTree是伸展树，而SplayTreeNode是伸展树节点。在此，我将SplayTreeNode定义为SplayTree的内部类。在伸展树SplayTree中包含了伸展树的根节点mRoot。SplayTreeNode包括的几个组成元素:

(1) key – 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。

(2) left – 是左孩子。

(3) right – 是右孩子。

2.旋转

/* * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。 * * 注意： * (a)：伸展树中存在'键值为key的节点'。 * 将'键值为key的节点'旋转为根节点。 * (b)：伸展树中不存在'键值为key的节点'，并且key < tree.key。 * b-1 '键值为key的节点'的前驱节点存在的话，将'键值为key的节点'的前驱节点旋转为根节点。 * b-2 '键值为key的节点'的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。 * (c)：伸展树中不存在'键值为key的节点'，并且key > tree.key。 * c-1 '键值为key的节点'的后继节点存在的话，将'键值为key的节点'的后继节点旋转为根节点。 * c-2 '键值为key的节点'的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。 */ private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) {if (tree == null) return tree;SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>();SplayTreeNode<T> l = N;SplayTreeNode<T> r = N;SplayTreeNode<T> c;for (; ; ) { int cmp = key.compareTo(tree.key); if (cmp < 0) {if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) { c = tree.left; /* rotate right */ tree.left = c.right; c.right = tree; tree = c; if (tree.left == null)break;}r.left = tree; /* link right */r = tree;tree = tree.left; } else if (cmp > 0) {if (tree.right == null) break;if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) { c = tree.right; /* rotate left */ tree.right = c.left; c.left = tree; tree = c; if (tree.right == null)break;}l.right = tree; /* link left */l = tree;tree = tree.right; } else {break; }}l.right = tree.left;/* assemble */r.left = tree.right;tree.left = N.right;tree.right = N.left;return tree; } public void splay(T key) {mRoot = splay(mRoot, key); }}

上面的代码的作用：将”键值为key的节点”旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：

(a)：伸展树中存在”键值为key的节点”。

将”键值为key的节点”旋转为根节点。

(b)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key < tree->key。

b-1) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话，将”键值为key的节点”的前驱节点旋转为根节点。

b-2) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。

(c)：伸展树中不存在”键值为key的节点”，并且key > tree->key。

c-1) “键值为key的节点”的后继节点存在的话，将”键值为key的节点”的后继节点旋转为根节点。

c-2) “键值为key的节点”的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。

下面列举个例子分别对a进行说明。

在下面的伸展树中查找10，，共包括”右旋” –> “右链接” –> “组合”这3步。

01, 右旋

对应代码中的”rotate right”部分

02, 右链接

对应代码中的”link right”部分

03.组合

对应代码中的”assemble”部分

提示：如果在上面的伸展树中查找”70”，则正好与”示例1”对称，而对应的操作则分别是”rotate left”, “link left”和”assemble”。

其它的情况，例如”查找15是b-1的情况，查找5是b-2的情况”等等，这些都比较简单，大家可以自己分析。

3.插入

/** * 将结点插入到伸展树中，并返回根节点 * @param tree 伸展树的根节点 * @param z 插入的结点 * @return */ private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) {int cmp;SplayTreeNode<T> y = null;SplayTreeNode<T> x = tree;// 查找z的插入位置while (x != null) { y = x; cmp = z.key.compareTo(x.key); if (cmp < 0)x = x.left; else if (cmp > 0)x = x.right; else {System.out.printf('不允许插入相同节点(%d)!n', z.key);z = null;return tree; }}if (y == null) tree = z;else { cmp = z.key.compareTo(y.key); if (cmp < 0)y.left = z; elsey.right = z;}return tree; } public void insert(T key) {SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null);// 如果新建结点失败，则返回。if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null) return;// 插入节点mRoot = insert(mRoot, z);// 将节点(key)旋转为根节点mRoot = splay(mRoot, key); }

insert(key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中；然后，将该节点旋转为根节点。

insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。

4.删除

/** * * @param tree 伸展树 * @param key 删除的结点 * @return */ private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) {SplayTreeNode<T> x;if (tree == null) return null;// 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。if (search(tree, key) == null) return tree;// 将key对应的节点旋转为根节点。tree = splay(tree, key);if (tree.left != null) { // 将'tree的前驱节点'旋转为根节点 x = splay(tree.left, key); // 移除tree节点 x.right = tree.right;}else x = tree.right;tree = null;return x; } public void remove(T key) {mRoot = remove(mRoot, key); }

remove(key)是外部接口，remove(tree, key)是内部接口。

remove(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。

它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。

伸展树实现完整代码

public class SplayTree<T extends Comparable<T>> { private SplayTreeNode<T> mRoot; // 根结点 public class SplayTreeNode<T extends Comparable<T>> {T key;// 关键字(键值)SplayTreeNode<T> left; // 左孩子SplayTreeNode<T> right; // 右孩子public SplayTreeNode() { this.left = null; this.right = null;}public SplayTreeNode(T key, SplayTreeNode<T> left, SplayTreeNode<T> right) { this.key = key; this.left = left; this.right = right;} } /* * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。 * * 注意： * (a)：伸展树中存在'键值为key的节点'。 * 将'键值为key的节点'旋转为根节点。 * (b)：伸展树中不存在'键值为key的节点'，并且key < tree.key。 * b-1 '键值为key的节点'的前驱节点存在的话，将'键值为key的节点'的前驱节点旋转为根节点。 * b-2 '键值为key的节点'的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。 * (c)：伸展树中不存在'键值为key的节点'，并且key > tree.key。 * c-1 '键值为key的节点'的后继节点存在的话，将'键值为key的节点'的后继节点旋转为根节点。 * c-2 '键值为key的节点'的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。 */ private SplayTreeNode<T> splay(SplayTreeNode<T> tree, T key) {if (tree == null) return tree;SplayTreeNode<T> N = new SplayTreeNode<T>();SplayTreeNode<T> l = N;SplayTreeNode<T> r = N;SplayTreeNode<T> c;for (; ; ) { int cmp = key.compareTo(tree.key); if (cmp < 0) {if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) { c = tree.left; /* rotate right */ tree.left = c.right; c.right = tree; tree = c; if (tree.left == null)break;}r.left = tree; /* link right */r = tree;tree = tree.left; } else if (cmp > 0) {if (tree.right == null) break;if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) { c = tree.right; /* rotate left */ tree.right = c.left; c.left = tree; tree = c; if (tree.right == null)break;}l.right = tree; /* link left */l = tree;tree = tree.right; } else {break; }}l.right = tree.left;/* assemble */r.left = tree.right;tree.left = N.right;tree.right = N.left;return tree; } public void splay(T key) {mRoot = splay(mRoot, key); } /** * 将结点插入到伸展树中，并返回根节点 * @param tree 伸展树的根节点 * @param z 插入的结点 * @return */ private SplayTreeNode<T> insert(SplayTreeNode<T> tree, SplayTreeNode<T> z) {int cmp;SplayTreeNode<T> y = null;SplayTreeNode<T> x = tree;// 查找z的插入位置while (x != null) { y = x; cmp = z.key.compareTo(x.key); if (cmp < 0)x = x.left; else if (cmp > 0)x = x.right; else {System.out.printf('不允许插入相同节点(%d)!n', z.key);z = null;return tree; }}if (y == null) tree = z;else { cmp = z.key.compareTo(y.key); if (cmp < 0)y.left = z; elsey.right = z;}return tree; } public void insert(T key) {SplayTreeNode<T> z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null);// 如果新建结点失败，则返回。if ((z = new SplayTreeNode<T>(key, null, null)) == null) return;// 插入节点mRoot = insert(mRoot, z);// 将节点(key)旋转为根节点mRoot = splay(mRoot, key); } /* * 删除结点(z)，并返回被删除的结点 * * 参数说明： * bst 伸展树 * z 删除的结点 */ /** * * @param tree 伸展树 * @param key 删除的结点 * @return */ private SplayTreeNode<T> remove(SplayTreeNode<T> tree, T key) {SplayTreeNode<T> x;if (tree == null) return null;// 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。if (search(tree, key) == null) return tree;// 将key对应的节点旋转为根节点。tree = splay(tree, key);if (tree.left != null) { // 将'tree的前驱节点'旋转为根节点 x = splay(tree.left, key); // 移除tree节点 x.right = tree.right;}else x = tree.right;tree = null;return x; } public void remove(T key) {mRoot = remove(mRoot, key); } /* * (递归实现)查找'伸展树x'中键值为key的节点 */ private SplayTreeNode<T> search(SplayTreeNode<T> x, T key) {if (x==null) return x;int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp < 0) return search(x.left, key);else if (cmp > 0) return search(x.right, key);else return x; } public SplayTreeNode<T> search(T key) {return search(mRoot, key); } /* * 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。 */ private SplayTreeNode<T> minimum(SplayTreeNode<T> tree) {if (tree == null) return null;while(tree.left != null) tree = tree.left;return tree; } public T minimum() {SplayTreeNode<T> p = minimum(mRoot);if (p != null) return p.key;return null; } /* * 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。 */ private SplayTreeNode<T> maximum(SplayTreeNode<T> tree) {if (tree == null) return null;while(tree.right != null) tree = tree.right;return tree; } public T maximum() {SplayTreeNode<T> p = maximum(mRoot);if (p != null) return p.key;return null; }}

来自：http://blog.csdn.net/u012124438/article/details/78067998